بسیاری از پدیده های اطراف ما به طور ذاتی غیر خطی هستند و با معادله های غیر خطی بیان یا توصیف می شوند. از زمان ظهور کامپیوتر های دیجیتالی، هر روزه حل معادلات خطی آسانتر میشود واین در حالی است که برای بسیاری از معادلات غیر خطی جواب دقیقی وجود ندارد. در بسیاری از موارد یافتن حل تحلیلی [1]معادلات غیر خطی بسیار مشکل تر از بدست آوردن حل عددی آن میباشد، با وجود این هم اکنون با پیشرفت سخت افزار و وجود ابر کامپیوتر ها و برنامه های بسیار قدرتمندی همانند Maple و Mathematica که با متغیر های سمبولیک[2] کار میکنند، حل بسیاری از معادله ها آسانتر شده است. حل عددی به طور عمومی می تواند با محاسبات پیچیده کامپیوتری معادلات غیر خطی را حل نماید؛ این یک برتری حل عددی نسبت به حل تحلیلی میباشد که قادر است در بعضی از مواقع مسایل غیر خطی را ساده تر حل نماید. اگرچه حل عددی نقاط ناپیوستگی یک نمودار را نمایان میسازد اما با وجود این گاهی اوقات برای دریافت کل جواب بسیار هزینه بر و وقت گیر است و همچنین در کنار نتیجه های عددی، درک  ماهیت مساله غیر خطی مشکل میشود. مشکلات حل عددی موقعی ظاهر میشود که مساله غیر خطی  دارای تکینگی یا جواب های چند گانه باشد. حل عددی و تحلیلی مسائل غیر خطی مزایا و معایب جداگانه خود را داراست و همچنین محدودیت های خود را دارد. بنابراین این امر غیر ضروری است که ما یک روش را برگزینیم و از دیگری صرف نظر نماییم. عموماحل تحلیلی مسایل برای در بسیاری از موارد مطلوب میباشد.

بعضی راه حل های تحلیلی برای حل مسایل غیر خطی وجود دارد، پرتوربیشن تکنیک

 

 

 

[3] یکی از آنهاست [2،3،4،5،6،7،8،9،10،11]که به صورت گسترده و به سزایی در موارد مختلفی به کار رفته است. به وسیله ی روش پرتوربیشن بسیاری از مسائل و خاصیت های پدیده های غیر خطی آشکار گردیدند. یکی از موفقیت های چشمگیر روش پرتوربیشن موفقیت در کشف سیاره ی نهم منظومه شمسی بود که در آسمان بی کران جهان در نقطه ای که با حل معادلات ریاضی پیش بینی شده بود هویدا گردید. اخیراروش پرتوربیشن تکین[4] یکی از 10 تا پیشرفت اساسی برای مکانیک در قرن بیستم بوده است.برای همه گان مشهود است که پرتوربیشن نقش بسزایی در پیشرفت علوم مهندسی و علوم محض داشته است  به همین علت برای خواننده عزیز چندین مرجع از روش پرتوربیشن که در خط های قبلی معرفی شده بود قرار داده شده است.

روش پرتوربیشن به طور ذاتی بر اساس وجود پارامتر های کوچک و بزرگ موجود در مساله که به مقادیر پرتوربیشن[5] معروف هستند. یا به بیان عامیانه تر، روش پرتوربیشن از مقادیر پرتوربیشن برای تبدیل مسائل غیر خطی به تعداد مشخصی از مسائل خطی استفاده می کند تا بتواند جواب ساله غیر خطی را به صورت مجموعه ای از مسائل خطی حل شده در آورد. در واقع مقادیر پرتوربیشن سنگ زیربنایی روش پرتوربیشن هستند و همین مقادیر پرتوربیشن هستند که برای این روش محدودیت ایجاد میکند. لذا باید گفته شود که: اولا، این غیر ممکن است که تمام مسائل غیر خطی دارای چنین مقادیر پرتوربیشنی باشد و ثانیا، تقریب تحلیل چنین مسائلی در موارد متعددی که عامل غیر خطی قوی وجود دارد به شکست می انجامد و روش پرتوربیشن برای مواردی کاربرد دارد که غیر خطی بودن ضعیف میباشد و هر دو عامل ذکر شده دلایل مبرهنی برای ارائه ی محدودیت های روش پرتوربیشن میباشد. برای مثال به مساله ی درگ یک کره جامد که درون یک جریان یکنواخت غوطه ور شده است توجه کنید. این مساله یک مساله غیر خطی کلاسیک مکانیک سیالات می باشد که معادلات ناویر استوکس بر آن حاکم است. در سال 1851 وقتی که استوکس این مساله را مورد مطالعه قرار داد. بسیاری از دانشمندان آن زمان به نظریه ی او با تئوری های خطی حاکم در آن زمان به مخالفت برخواستند مخصوصا با روش پرتوربیشن و مقایسه آن با حل هایی که از پرتوربیشن بدست می آوردند. و این در حالی بود که تمام مقادیر بدست آمده فقط برای مقادیر رینولدز کوچک باروش های تجربی همخوانی داشت. بنابر این همه ی اینها از این واقعیت حکایت دارد که پرتوربیشن نمیتواند برای ما روشی ارائه دهد که محدوده ی همگرایی را تعیین نماید و همچنیین نمیتواند جواب مساله را در خیلی از موارد تقریب نماید.بعضی از روش های محدودی علاوه بر پرتوربیشن نیز وجود دارد. همانطور که گفته شد وابستگی روش پرتوربیشن به پارامترهای بزرگ و کوچک بود. وابستگی روش پرتوربیشن را به این مقادیر را میتوان با اضافه کردن یک متغیر معروف به متغیر کوچک مصنوعی[6] از بین برد. در سال 1892 لیاپونو[7] معادله ی زیر را مورد مطالعه قرار داد:

(1-1) dx/dt=A(t)x

جایی که A(t)  ماتریکس زمانی است. لیاپونو متغیر کمکی ε را  برای حل معادله به کار برد ومعادله (2-2) را با معدله (1-1) حایگزین نمود

(1-2) dx/dt=eps.A(t).x

و سپس جوابی بر اساس بسط توانی ε ارائه داد. در بسیاری از موارد لیاپونو اثبات کرد که سری به ازای  همگرا می شود. دستاورد بالا را روش لیاپانو می نامند. این ایده بعد ها توسط کارمیشین[8] بسط و گسترش داده شد و به روش بسط دلتا[9] معروف گردید. کارمیشین بعد ها پارامتر δ را در معادله ی زیر به کار برد تا

(1-3) x^5+x=1

به معادله زیر تبدیل شود

(1-4) x^(1+del)+x=1

و سپس سری توانی گسترش یافته δ  را بدست آورد و در نهایت تقریب آخر را با تبدیل سری δ  به تقریب زننده یpade  که همچون عملگری باعث سریعتر شدن همگرایی میشود بدست آورد. باید توجه داشت که ذاتا روش بسط با روش متغیر کوچک کمکی لیاپانو دلتا برابر میباشد.  باید توجه داشت که هر دو روش با تولید یک متغیر کمکی  به جواب میرسند، در حالی که تفاوت این دو فقط در این است که هر دو در قسمت های مختلف معادله ظاهر میشوندو اسم متفاوتی دارند ولی از لحاظ ماهیت یکی هستند. همچنین با توجه به روش کارمیشین ما میتوانیم مقدار متغیر کمکی را در هر جای معادله قرار دهیم لذا معادله ی (1-3) می تواند به زیر تغیر یابد

(1-5) del.x^5+x=1

تقریب که بوسیله ی معادله ی بالا به دست می آید بسیار بدتر از تقریبی است که از معادله(1-6) به دست می آید.هر دوی روش های دلتا و متغیر کوچک لیاپانو نیازمند قواعدی است تا مشخص نماید که پارامتر کمکی δ و ε در کجای معادله به کار گرفته شوند. هماند پرتوربیشن هر دو روش بسط  و متغیر کوچک لیاپانو به تنهایی نمیتوانند روش مشخصی را برای حل مسائل غیر خطی ارائه دهند و همچنین روش مشخصی را برای ارائه ی ناحیه ی همگرایی و مقدار تقریب را نمیدهند.

روش تجزیه ی آدمین[10] [12،13،14] یک روش بسیار قوی برای حل مسائل غیر خطی قوی  میباشد. اصول ایده ی آدمین برای ارائه حل خود بسیار شبیه به شیوه های روش های هموتوپی[11] آنالیز و هموتوپی پرتوربیشن[12] که پیشتر توضیح داده خواهد شد  میباشد. روش آدمین هم برای معدلات دیفرانسیل عادی و هم جزیی قابل استفاده میباشد، با وجود این روش آدمین یک سری محدودیت هایی دارد که این روش را دچار مشکلات عدیده ای میکند. تقریبهایی که بوسیله ی روش آدمین زده میشود گاهی اوقات دارای چند جمله های توانی میباشد. در حالت عمومی میشود گفت که ناحیه ی همگرایی سریهای توانی معمولا کوچک میباشد، بنابراین روش های تسریع دهنده لازم است به کار رود تا ناحیه ی همگرایی را بیشتر  و بزرگتر نماید. این مشکلات بیشتر به خاطر آن است که میشود گفت که سریهای توانی همیشه توابع اساسی برای تقریب زدن یک معادله غیر خطی نمی باشند، اما متاسفانه روش آدمین به ما ازادی عمل برای انتخاب توابع اساسی اولیه را نمی دهد. همانند روش متعیر کوچک لیاپانو و روش بسط دلتا ، روش تجزیه ی آدمین به تنهایی نمیتواند برای ما یک روش راحت برای حل مسائل ارئه دهد.

به طور کلی میتوان نتیجه گرفت که هیچ کدام از روشهای پرتوربیشن و روش های غیره مانند روش متغیر مصنوعی کوچک لیاپونو و روش بسط دلتا و روش تجزیه ی آدمین  نمیتواند یک روش مناسب و راحت برای تنظیم وتقریب سریهای جواب ارائه نمی دهد. تاثیر روش های تقریبی در حل مسائل هنوز به صورت کلی جایگاه خود را پیدا نکرده است. لذا اخیر یک سری روش های جدید برای حل این مسائل ارائه شده است که دارای قابلیت های ویژه ای میباشند. حواب های این روش دارای خاصیت های زیر می باشند:

  1. جواب آنها برای معادلات غیر خطی قوی معتبر می باشد حتی اگر معادله غیر خطی مورد نظر دارای مقادیر کوچک و بزرگ نباشد.
  2. امکان یک روش راحت برای تنظیم کردن بازه ی همگرایی را به ما میدهد.
  3. به ما این امکان میدهد تا توابع اولیه متفاوتی را انتخاب کنیم و همچنین امکان میدهد تا سری جوابهای خود را بر اساس توابع مشخصی بیان نماییم.

روش های جدیدی موسوم به روش آنالیز هموتوپی و هموتوپی پرتوربیشن دارای قابلیت های بالا هستند و قدرت بسیار بالایی در حل مسائل به ما ارئه میدهند. در این پروژه سعی شده است که به صورت گسترده ای در مورد روش های بالا بحث شود.

[1] Liao, Shijun, Beyond perturbation : introduction to homotopy analysis method.

[2] Cole, J.D. Perturbation Methods in Applied Mathematics. Blaisdell

Publishing Company, Waltham, Massachusetts, 1968.

[3] Von Dyke, M. Perturbation Methods in Fluid Mechanics. The Parabolic

Press, Stanford, California, 1975.

[4] Nayfeh, A.H. Introduction to Perturbation Techniques. John Wiley &

Sons, New York, 1981.

[5] Nayfeh, A.H. Problems in Perturbation. John Wiley & Sons, New York,

1985.

[6] Grasman, J. Asymptotic Methods for Relaxation Oscillations and Applications,

volume 63 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag,

New York, 1987.

[7] Lagerstrom, P.A. Matched Asymptotic Expansions: Ideas and Techniques,

volume 76 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag,

New York, 1988.

[8] Hinch, E.J. Perturbation Methods. Cambridge Texts in Applied Mathematics.

Cambridge University Press, Cambridge, 1991.

[9] Murdock, J.A. Perturbations: Theory and Methods. John Wiley &

Sons, New York, 1991.

[10] Bush, A.W. Perturbation Methods For Engineers and Scientists. CRC

Press Library of Engineering Mathematics. CRC Press, Boca Raton,

Florida, 1992.

[11] Kevorkian, J. and Cole, J.D. Multiple Scales and Singular Perturbation

Methods, volume 114 of Applied Mathematical Sciences. Springer-

Verlag, New York, 1995.

[12] Adomian, G. Nonlinear stochastic differential equations. J. Math. Anal.

and Applic., 55:441–452, 1976.

[13] Adomian, G. and Adomian, G.E. A global method for solution of complex

systems. Math. Model., 5:521–568, 1984.

[14] Adomian, G. Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition

Method. Kluwer Academic Publishers, Boston and London, 1994.

 


[1]– analytical

[2]– symbolic

[3]– perturbation technique

[4]– perturbation singular

[5] – perturbation quantity

[6]– artificial small parameter

[7]– Lyapunov

[8]– karmishin

[9]– δ-expansion

[10]-Adomian’s decomposition method

[11] -homotopy analysis method

[12]